Fenômenos de Transporte: setembro 2010

quinta-feira, 30 de setembro de 2010

Estática de Fluidos – Exercícios Resolvidos

Segue abaixo alguns exercícios sobre estática de fluidos:

1 - Um tanque fechado contém ar comprimido e um óleo que apresenta densidade 0,9. O fluido utilizado no manômetro em “U” conectado ao tanque é mercúrio (densidade 13,6). Se h₁ = 914 mm, h₂ = 152 mm e h₃ = 229 mm, determine a leitura do manômetro localizado no topo do tanque.

2 - A água de um lago localizado em uma região montanhosa apresenta uma profundidade máxima de 40 m. Se a pressão barométrica local é 598 mmHg, determine a pressão absoluta na região mais profunda (γ_Hg = 133 KN/m3).

Pfundo = Po + γ_H2O . h_lago onde, Po = γ_Hg .h_Hg é a pressão na superfície do lago

Pfundo = γ_Hg .h_Hg + γ_H2O . h_lago = 133 (KN/m²) x 0,598 (m) + 9,8 (KN/m²) x 40 (m)

Pfundo = 472 KN/m² = 472 KPa (abs)

3 – No piezômetro inclinado da figura, temos γ1 = 800 Kgf/m² e γ2 = 1700 Kgf/m², L1 = 20 cm e L2 = 15 cm , α = 30 ^oC. Qual é a pressão em P1?

h1 = L1.sem α h2 = L2.sem α

P1 = h1. γ1 + h2. γ2 = L1.sem α. γ1 + L2.sem α. γ2

P1 = 0,20 x sen 30^o x 800 + 0,15 x sen 30^o x 1700

P1 = 207,5 Kgf/m²

4 - O Edifício “Empire State” tem altura de 381 m. Calcule a relação entre a pressão no topo e na base ( nível do mar ), considerando o ar como fluido incompressível (γAr = 12,01 N/m3 ).

P2 = P_atm = 101234 N/m²

P2 – P1 = γAr . ( h2 – h1 )

P1 = P2 - γ_Ar . ( h2 – h1 )

Fonte:
www.scribd.com/doc/28659745/Fenomenos-de-Transporte - Acesso 17/09/2010

Estática dos Fluidos – Conceitos - Parte 2

LEI DE PASCAL

“A pressão aplicada em um ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente a todos os pontos do fluido.”

Carga de Pressão - É chamada carga de pressão a relação entre a pressão num ponto do fluido e o peso específico do mesmo fluido. Ou seja:

Na Figura 6, a pressão no ponto A será γ.hA e a carga de pressão será hA e a pressão no ponto B será γ.hB e a carga de pressão será hB.

Figura 6 – Carga de pressão em pontos de um reservatório

Numa tubulação, apesar de não se poder falar em profundidade, também se aplica o conceito de carga de pressão. Isto significa que se for aberto um orifício na tubulação, o fluido será lançado num jato que atingirá a altura h. Se este jato for canalizado por meio de um tubo de vidro, verifica-se que o fluido subirá até esta altura h, como mostra a Figura 7.

Figura 7 – Carga de pressão em ponto de uma tubulação

Fonte:

Estática dos Fluidos – Conceitos - Parte 1

TEOREMA DE STEVIN

“A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas dos dois pontos.”

Figura 1 – Pressão em fluido em repouso

As forças que agem são:

No eixo do cilindro tem-se, no repouso:

Então:

Observações:

1. Na diferença de pressões entre dois pontos não interessa a distância entre eles,

mas a diferença de cotas;

2. A pressão dos pontos num mesmo plano ou nível horizontal é a mesma;

3. O formato do recipiente não é importante para o cálculo da pressão em um ponto;

Figura 2 – Pressão num mesmo plano em formas diferentes de reservatório.

4. Se a pressão na superfície livre de um líquido contido num recipiente for nula, a pressão num ponto qualquer à profundidade h dentro do líquido será dada por:

Figura 3 – Pressão à profundidade h

5. Nos gases, como o peso específico é pequeno, se a diferença de cotas não for muito grande, pode-se desprezar a diferença de pressão entre eles.

Figura 4 – Pressão num gás

A pressão em torno de um ponto em um fluido em repouso é a mesma em todas as direções.

Figura 5 – Pressão em torno de um ponto

Exemplo:

Determine a distância x na figura, considerando que o peso específico da água e 9800 N/m3 e que o peso específico do óleo é 7350 N/m3.

Fonte:

http://www.santarita.g12.br/matematicos/gm3/simon_stevin.htm - Acesso 29/09/2010

http://wiki.sj.cefetsc.edu.br/wiki/images/3/34/Apostila_de_Fenomenos_de_Transporte.pdf - Acesso 17/09/2010

www.sc.ehu.es/sbweb/fisica - Acesso 17/09/2010

BRUNETTI, Franco; Mecânica dos fluidos. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.

quarta-feira, 29 de setembro de 2010

Empuxo - Animação

Este vídeo explica como funciona a força de empuxo em objetos submersos.
Obs: O vídeo começa sem som mesmo!

Fonte: fisicanimada.com/empuxo

Lei do empuxo, ou Princípio de Arquimedes:

Diz a lenda, e os livros de história do segundo grau, que Arquimedes descobriu a lei do empuxo enquanto tomava banho na banheira de sua casa, quando observou que, a água transbordava à medida que seu corpo mergulhava na banheira. Concluiu então que a densidade de seu corpo submerso fazia com que a água se deslocasse e, de tão contente, saltou da banheira e foi para a rua gritando “EUREKA!”, que em grego significa descobri!

O que Arquimedes descobriu foi que: "Todo corpo mergulhado num fluido em repouso sofre, por parte do fluido, uma força vertical para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo."

Para um corpo totalmente imerso em um líquido, tem-se as seguintes condições

§ Se ele permanece parado no ponto em que foi colocado, a intensidade da força de impulsão, ou empuxo, é igual a intensidade da força peso (E = P);

§ Se ele afundar, a intensidade da força de impulsão é menor que a intensidade da força peso (E < P);

§ Se ele for levado para a superfície, a intensidade da força de impulsão é maior do que a intensidade da força peso (E > P).

Relação entre as forças:

A força de empuxo, F_E, aplicada pelo fluido sobre um objeto é dirigida para cima. A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na parte de cima do objeto. Para um objeto flutuante, a parte que fica acima da superfície está sob a pressão atmosférica, enquanto que a parte que está abaixo da superfície está sob uma pressão maior porque ela está em contato com uma certa profundidade do fluido, e a pressão aumenta com a profundidade. Para um objeto completamente submerso, a parte de cima do objeto não está sob a pressão atmosférica, mas a parte de baixo ainda está sob uma pressão maior porque está mais fundo no fluido. Em ambos os casos a diferença na pressão resulta em uma força resultante para cima (força de empuxo) sobre o objeto. Esta força tem que ser igual ao peso da massa de água (p_{fluido .}V_deslocado) deslocada, já que se o objeto não ocupasse aquele espaço esta seria a força aplicada ao fluido dentro daquele volume (V_deslocado) a fim de que o fluido estivesse em estado de equilíbrio.

Quando um corpo é composto de material menos denso que o fluido onde está imerso, pode encontrar uma posição de equilíbrio flutuando na superfície. Este é o caso dos icebergs que ficam estáveis flutuando na água quando a porção de volume imersa gera empuxo suficiente para sustentar seu peso. Ou seja, denotando por V_i o volume imerso do iceberg, V_T, seu volume total e ρ_g a densidade do gelo, a condição de equilíbrio se torna:

Resolvendo para V_i,

Assim, obtemos que o volume imerso de um iceberg equivale a 92% de seu volume total, ficando apenas 8% visível fora d'água, dando origem à expressão.

Estabilidade e Equilíbrio de Flutuação:

Os pontos de aplicação das forças de peso e empuxo são, respectivamente, o centro de gravidade do corpo G e o centro de empuxo C, que corresponde ao centro de gravidade do líquido deslocado. Se o centro de gravidade G coincide com o centro de empuxo C, situação mais comum quando o corpo está totalmente mergulhado, o equilíbrio é INDIFERENTE, isto é, o corpo permanece na posição em que for colocado. Porém, quando um corpo flutua parcialmente imerso no fluido e se inclina num pequeno ângulo, o volume da parte da água deslocada se altera e o centro de empuxo muda de posição. Para que um objeto flutuante permaneça em equilíbrio ESTÁVEL, seu centro de empuxo deve ser deslocado de tal modo que a força de empuxo (de baixo para cima) e o peso (de cima para baixo) produzam um torque restaurador, que tende a fazer o corpo retornar a sua posição anterior.

Se o centro de gravidade G estiver acima do centro de empuxo C, o equilíbrio pode ser estável ou não. Vai depender de como se desloca o centro de empuxo em virtude da mudança na força do volume de líquido deslocado, como mostram as figuras abaixo, onde o centro de gravidade G está acima do centro de empuxo mas, ao deslocar o corpo da posição inicial, o centro de empuxo muda, de modo que o torque resultante faz com que o corpo volte para sua posição inicial de equilíbrio.

Obs.: A diferença conceitual entre centro de empuxo e centro de gravidade é que a posição do centro de gravidade não se altera em relação ao corpo, a menos que ele seja deformado. Mas o centro de empuxo do corpo flutuante muda de acordo com a forma do líquido deslocado porque o centro de empuxo está localizado no centro de gravidade do líquido deslocado pelo corpo.

As figuras acima mostram o equilíbrio chamado INSTÁVEL. Movimentando o corpo (oscilando) de sua posição inicial, o deslocamento do centro de empuxo faz com que o torque resultante vire o corpo.

Todos os conceitos e aplicações sobre empuxo descritos nesta postagem podem ser melhor visualizados no excelente vídeo desenvolvido pela FisicAnimada, disponível na postagem seguinte deste blog e também, em melhor resolução, no site fisicanimada.com.

Bibliografia deste post:

POTTER, M. C. & WIGGERT, D. C. 2004. Mecânica dos Fluidos. Págs. 49 - 54.

http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/hidrostatica/pressao.html - acesso em 27/09/2010

http://pt.wikipedia.org/wiki/Princ%C3%ADpio_de_Arquimedes - acesso em 27/09/2010

http://www.mundovestibular.com.br/articles/643/1/EQUILIBRIO-DE-FLUTUACAO/Paacutegina1.html - acesso em 27/10/2010

domingo, 26 de setembro de 2010

Exemplos resolvidos envolvendo as equações manométricas

Exemplo 1
Para uma determinada condição os níveis de líquidos na Figura 1c da postagem sobre manômetros são: z1=0,95 m, z2=0,70 m, z3=0,52 m, z4=0,65 m e z5=0,72 m. Além disso γ1=9810 N/m³, γ2=11500 N/m³ e γ3=14000 N/m³. Os diâmetros são D=0,2 m e d=0,01m.
a)Calcule a pressão p1 no tubo e a variação de H se p1 aumenta em 100 Pa.
b)Calcule a variação em h do manômetro da Fig. 1a, se h=0,5 m e Δp=100 Pa.
Sol.:
a)
h=0,72-0,70=0,02 m
H=0,65-0,52=0,13 m
Substituindo os valores na eq. 6 obtemos
p1=γ1(z2-z1)+γ2h+(γ3-γ2)H
p1=9810(0,70-0,95)+11500(0,02)+(1400-11500)(0,13)
p1=-1898 N/m²=-1898 Pa
Se p1 é aumentada em 100 Pa, para p1=-1798 Pa, a variação em H é, usando a Eq. 9

Assim, H aumenta 3,97 cm como resultado do aumento de pressão de 100 Pa.

b) Para o manômetro da fig. 1a, a pressão é dada por p=γh. Assuma que, inicialmente, h=0,50m. Assim, inicialmente, a pressão é
p1=9810x0,50=4905 Pa
Agora, se p1 é aumentada em 100 Pa, h pode ser encontrada:
Portanto, um incremento de 100 Pa aumenta h em 1 cm no manômetro da parte a, o que corresponde a 25% da variação do micromanômetro para a mesma variação de pressão.

Fonte: POTTER, Merle C. e WIGGERT, David C. Mecânica dos Fluídos. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004.

Exemplo 2
a) Encontre a pressão da tubulação de água da figura abaixo:
Solução:
Considerando que γ=9810N/m3 e γ(Hg)=13,6γ temos
b) presente exercício refere-se a um problema envolvendo manômetro diferencial, que tem por objetivo indicar a diferença de pressão entre dois sistemas.
Determine de pressão entre a tubulação de água e a tubulação de óleo mostrada na figura abaixo.

Solução:

O exemplo 2a e 2b foram extraídos do livro Mecânica dos Fluídos (POTTER e WIGGERT, 2004) da página 62 e 61, respectivamente, e foram resolvidos pelo acadêmico Alex S. de Mello.

Exemplo 3

Determinar as pressões efetivas e absolutas:
a)do ar;
b)no ponto M, na configuração a seguir.

Dados: leitura barométrica 740mmHg; γ(óleo)=8500 N/m3; γ(Hg)=136000 N/m3.
Aqui se faz necessário explanar a diferença entre pressão efetiva (ou manométrica) e pressão absoluta. A pressão absoluta é somatório da pressão atmosférica (ou barométrica)e a pressão efetiva (manométrica). Salvo exceções, os manômetros metálicos ou de Bourdon já descontam os efeitos da pressão atmosférica, portanto, indicam a pressão efetivamente realizada pela coluna de fluído (líquido ou gás).
Solução:
a)

b)

Segue abaixo uma relação de fatores de conversão para as unidades de pressão mais utilizadas:

O exercício foi extraído do livro Mecânica dos Fluídos (BRUNETTI, 2007) e resolvido pelo acadêmico Alex S. de Mello. Os resultados acima conferem com o gabarito fornecido pelo livro.

sábado, 25 de setembro de 2010

Manômetros

Manômetros são instrumentos que usam colunas de líquidos para medir pressão. Três desses instrumentos, mostrados na Fig. 1, são analisados para ilustrar seu uso. A parte (a) mostra um manômetro do tipo tubo em "U", usado para medir pressões relativamente pequenas. Nesse caso a pressão no tubo pode ser determinada definindo-se um ponto 1 no centro do tubo e um ponto 2 na superfície da coluna da direita. Então, usando a Eq. 1,

p1+γz1=p2+γz2

em que o ponto a partir de onde z1 e z2 são medidos é localizado em qualquer posição desejada, tal como o ponto 1. Como p2=0 (pressão manométrica é selecionada; se a pressão absoluta é desejada, selecionaríamos p2=patm) e z2–z1 = h,

p1=γh (Eq. 2)

A Fig. 1b mostra um manômetro usado para medir pressões relativamente elevadas, já que podemos escolher que γ2 seja bastante grande; por exemplo, podemos escolher γ2 para que seja o do mercúrio, tal que γ2=13,6 γágua. A pressão pode ser determinada introduzindo os pontos indicados. Isso é necessário porque a Eq. 1 se aplica em todo o fluido; γ deve ser constante. O valor de γ muda abruptamente no ponto 2. A pressão no ponto 2 e no ponto 2' é a mesma, já que

os pontos estão na mesma elevação no mesmo fluido. Assim,

p2=p2’
p1+γ1h=p3+γ2h (Eq. 3)

Colocando p3=0 (pressão manométrica é usada), o resultado é

p1= -γ1h + γ2H (Eq. 4)

Figura 1 - Manômetros: (a) manômetro tipo tubo em "U" (pressões pequenas); (b) manômetro do tipo tubo em "U" (pressões altas); (c) micromanômetro (mudanças de pressão muito pequenas).

A Figura 1c mostra um micromanômetro que é usado para medir mudanças de pressão muito pequenas. Introduzindo cinco pontos conforme indicado, podemos escrever

p1+γ(z1-z2)+ γ2(z2-z3)=p5+ γ2(z5-z4)+ γ3(z4-z3) (Eq. 5)

Observando que z2-z3+h=H+z5-z4 e colocando p5=0 obtemos

p1= γ1(z2-z1)+γ2(h-H)+ γ3H
p1=γ1(z2-z1)+γ2h+(γ3-γ2)H (Eq. 6)

Note que em todas as equações acima para os três manômetros identificamos todas as interfaces com um ponto. Isso é sempre necessário quando estamos analisando um manômetro. O micromanômetro é capaz de medir pequenas variações de pressão porque uma pequena variação de pressão em p, resulta num desvio relativamente grande de H. A mudança em H devido a uma mudança em p, pode ser determinada usando-se a Eq. 6. Suponha que p1 aumenta Δp1, e, como resultado, z2 decresce Δz; então, h e H também mudam. Usando o fato de que um decréscimo em z é acompanhado por um acréscimo em z5, que leva a um acréscimo em h de 2Δz e, similarmente, assumindo que os volumes são conservados, pode ser mostrado que H aumenta por 2ΔzD²/d². Portanto, uma variação de pressão Δp1, pode ser calculada a partir das variações dos desvios, como segue: A taxa de variação em H com p1 é:Usando a eq. 7 temos: