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Este blog foi criado pelos alunos de Engenharia Ambiental da Faculdade Dom Bosco de Porto Alegre, Alex, Diogo e Soliris, especialmente para a disciplina de Fenômenos de Transporte, com o objetivo de compartilhar e discutir conhecimentos sobre a mecânica dos fluidos.

quarta-feira, 24 de novembro de 2010

Análise Dimensional Semelhança

Análise Dimensional

Análise dimensional é um meio para simplificação de um problema físico empregando a homogeneidade dimensional para reduzir o número das variáveis de análise. A análise dimensional é particularmente útil para:
- Apresentar e interpretar dados experimentais;
- Resolver problemas difíceis de atacar com solução analítica;
- Estabelecer a importância relativa de um determinado fenômeno;
- Modelagem física.
Semelhança

Problemas em Engenharia (principalmente na área de Térmica e Fluidos) dificilmente são resolvidos aplicando-se exclusivamente análise teórica. Portanto, utilizam-se com freqüência estudos experimentais. Métodos analíticos nem sempre são satisfatórios:
- Limitações devido às simplificações necessárias para resolver as equações;
- Análise detalhada com grande complexidade/custo.
Muito do trabalho experimental é feito com o próprio equipamento ou com réplicas exatas. Porém, a maior parte das aplicações em Engenharia é realizada utilizando-se modelos em escala. No entanto, sem planejamento e organização, os procedimentos experimentais podem:
- Consumir muito tempo;
- Não ter objetividade;
- Custarem muito.
Utilização de modelos em escala

- Vantagens econômicas (tempo e dinheiro);
- Podem-se utilizar fluidos diferentes dos fluidos de trabalho;
- Os resultados podem ser extrapolados;
- Podem-se utilizar modelos reduzidos ou expandidos (dependendo da conveniência);
As comparações são realizadas entre o Protótipo (avião, navio) em escala real e o Modelo em escala reduzida ou aumentada.
Comparação entre Protótipo e Modelo

Para ser possível esta comparação e conseqüente a utilização dos resultados do modelo ao protótipo é indispensável que os conjuntos de condições sejam fisicamente semelhantes. O termo semelhança física é um termo geral que envolve uma variedade de tipos de semelhança.

Semelhança Geométrica
Semelhança de forma. A propriedade característica dos sistemas geometricamente semelhantes (modelo e protótipo) é que a razão entre qualquer comprimento no modelo e o seu comprimento correspondente no protótipo é uma constante. Esta razão é conhecida como fator de escala. A semelhança geométrica é o requisito mais óbvio para que um modelo possa corresponder a um dado protótipo.
Nem sempre é fácil obter a semelhança geométrica perfeita. Deve-se lembrar que não só a forma global do modelo tem que ser semelhante à do protótipo, como também a rugosidade das superfícies deveria ser geometricamente semelhantes.
Semelhança Geométrica
Muitas vezes, a rugosidade de um modelo em escala reduzida não pode ser obtida de acordo com o fator de escala – problema de construção/de material/de acabamento das superfícies do modelo.
Exemplo: Estudo do movimento dos sedimentos nos rios. Um modelo em escala pode exigir o uso de um pó excessivamente fino para representar o sedimento.
No caso de protótipos muito grandes, o recurso de modelos distorcidos (fator de escala diferentes entre os comprimentos na horizontal e na vertical) é inevitável.



Semelhança Cinemática
Semelhança cinemática é a semelhança do movimento, o que implica necessariamente semelhança de comprimentos (semelhança geométrica) e semelhança de intervalos de tempo.

Exemplo de semelhança cinemática: Planetário. O firmamento é reproduzido de acordo com um certo fator de escala de comprimento e, ao copiar os movimentos dos planetas, utiliza-se uma razão fixa de intervalos de tempo e, portanto, de velocidades e acelerações.
Escoamentos que possuem semelhança cinemática, os padrões formados pelas linhas de corrente são geometricamente semelhantes.

Uma vez que as fronteiras do escoamento correspondem a linhas de correntes, só é possível obter escoamentos semelhantes, do ponto de vista cinemático, em fronteiras geometricamente semelhantes.
No entanto, esta condição não é suficiente para assegurar a semelhança geométrica dos padrões das linhas de corrente a uma distância significativa das fronteiras.

A semelhança geométrica nas fronteiras é uma condição necessária, mas não suficiente para haver semelhança cinemática dos escoamentos.
Semelhança Dinâmica
Semelhança Dinâmica é a semelhança das forças. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes quando os valores absolutos das forças, em pontos equivalentes dos dois sistemas, estão numa razão fixa.
As forças que determinam o comportamento dos fluidos têm várias origens:

Grupos Adimensionais

 
Semelhança Geométrica:
- das formas;
- das linhas de corrente;
- das linhas de força.

Determinação de Grupos Adimensionais em um Problema Físico Teorema dos Pi de Buckingham
Dado um problema físico no qual um parâmetro de interesse é uma função de n-1 parâmetros independentes, é possível escrever a seguinte relação:
O Teorema dos Pi de Buckingham declara que dada uma relação entre n parâmetros da forma da Eq.(2), então, os n parâmetros podem ser agrupados em n-m razões independentes adimensionais, ou parâmetros Π, os quais podem ser expressos como segue:

Determinação dos Grupos Pi
Geralmente, a determinação dos grupos adimensionais segue um roteiro descrito a seguir:
PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como o número de parâmetros envolvidos;
PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das dimensões primárias. Define-se r como o número de dimensões primárias presentes no problema;
PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para que estes parâmetros não sejam linearmente dependentes. Existe a possibilidade de não ser possível selecionar r parâmetros independentes. Neste caso, o número de parâmetros independentes, m, deve ser considerado ao invés de r;
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo anterior com cada um dos outros parâmetros para formar grupos adimensionais. Geralmente, o número de equações dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o número de dimensões primárias presentes no problema (n-r), a não ser que r m. Neste caso, o número de equações dimensionais deverá ser (n-m);
PASSO 5: Resolva as equações para obter os grupos adimensionais;
PASSO 6: Verifique se cada grupo obtido é adimensional.

Bibliografia

Barbosa, Marcos Pinotti; Análise Dimensional Semelhança, Mecânica dos Fluidos. UFMG.

 

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