Problemas envolvendo Análise Dimensional

No escoamento incompressível dependente do tempo oscilatório com período τ devido a um corpo imerso em um fluído, quais são os parâmetros que caracterizam o escoamento?

Para o escoamento incompressível, apenas o número de Reynolds aparece como coeficiente adimensional. Se resolvermos para um período adimensional τ* definido por τV0/L, podemos escrever:

O adimensional τV0/L é conhecido como número de Strouhal.

Nos problemas que envolvem tensão superficial TS, quais são os parâmetros que entram?

Figura1

As equações do movimento são as mesmas que no escoamento sem efeitos da tensão superficial, mas as condições de contorno são diferentes. Na interface líquido-ar, a força de pressão deve ser compensada pela tensão superficial, e não é necessariamente nula, como o seria na superfície livre sem tensão superficial.Uma diferença de pressão finita pode existir através da interface (se tivermos curvatura) e ser compensada pela tensão superficial. Considere o caso bidimensional mostrado na Fig. 1. Por considerações de equilíbrio:onde R é o raio de curvatura da superfície e sen Θ≈Θ, para Θ pequeno. Então, podemos escrever
com a introdução da pressão adimensional e do raio de curvatura nas formas p*=p/ρ0V0^2 e R*= R/L. Definimos uma tensão superficial adimensional TS* por
de modo que TS*=pR. O número de Weber é definido porNum líquido com pouca profundidade, pequenas perturbações superficiais propagam-se na forma mostrada na Fig. 2. De que parâmetros depende a velocidade da onda superficial infinitesimal? Quais os grupos adimensionais relevantes?
Figura 2

Considere a onda mostrada na figura. A velocidade a pode depender da profundidade h e da gravidade g. O único grupo adimensional decorrente é
Assim, como o número de variáveis é três e o de dimensões fundamentais é dois (comprimento e tempo), temos apenas um grupo e, desta forma, dizemos que ele é constante.

Quando se fecha repentinamente um tubo com escoamento de água, estabelece-se um golpe de aríete. Tais ondas podem gerar enormes pressões que causam avaria no tubo. Usando a análise dimensional, achar a máxima pressão gerada pelo fenômeno.

Tomamos como parâmetros relevantes: a pressão máxima, a massa específica ρ, a velocidade inicial U0 e o módulo de elasticidade β (porque a onda é de compressão). Existem dois grupos adimensionais possíveis. Podemos considerá-los como pmáx/β e U0²ρ/β. Desta forma é possível escrever:Como no problema anterior, é possível dizer algo sobre a velocidade de propagação dessa onda de golpe de aríete. A velocidade da onda a depende da massa específica ρ e do modulo β (se for possível arbitrá-lo corretamente), de modo que o único grupo a ser formado, a²ρ/β, deva ser constante. A velocidade real éNa aerodinâmica subsônica, como verificamos a sustentação em um modelo de aerofólio?

A sustentação em um corpo pode ser achada pela integração da componente apropriada da força de pressão normal à velocidade da corrente livre ao longo da superfície considerada. A pressão é achada da equação do movimento. No escoamento permanente, a pressão adimensional depende da localização do corpo, r*, e do número de Reynolds; entretanto, usualmente a dependência do número de Reynolds é pequena, e se o escoamento é aerodinâmico, como em um aerofólio verdadeiro, tal dependência pode ser desprezada. Para dada forma geométrica, a pressão pode ser integrada ao longo do corpo para eliminar a dependência de r* no cálculo da sustentação L. Todavia, mesmo para uma dada forma geométrica, o ângulo de ataque Θ (o ângulo relativo de aproximação da corrente fluída) afeta a sustentação.

Figura 3

Com referência a Figura 3, segue que:onde ŷ é um vetor unitário (versor) na direção y, e
onde A0 é uma área característica do aerofólio e A*=A/A0. Desta forma, a sustentação seria
onde CL é conhecido por coeficiente de sustentação. O fator 2 aparece por convenção e ρV0²/2 pode ser interpretada como a pressão dinâmica. Nas experiências, o coeficiente de sustentação é determinado em função de Θ para certa forma de aerofólio.

Na aerodinâmica subsônica, como reproduzir um modelo a resistência?

A resistência, também chamada por alguns de arrasto, decorre principalmente do atrito, embora exista ocorrência de uma esteira e a baixa pressão na onda dominará o atrito (resistência viscosa devida à camada limite). No escoamento ao longo de um aerofólio existe também uma resistência induzida que aparece devido a mudança no ângulo de ataque. A sustentação, que deve ser perpendicular à corrente local efetiva de fluido, tem uma componente na direção da corrente livre (isto é, oposta à direção do movimento do corpo). A resistência induzida D pode ser formulada em termos de uma integral de pressão, e podemos escrever

onde CD(Θ) é o coeficiente de resistência. Se considerarmos corpos não aerodinâmicos, em que a maior porção da resistência decorra da viscosidade e da onda de baixa pressão, o escoamento é altamente sensível ao número de Reynolds, e podemos escrever que a resistência de atrito integrado e a de onda são funções do número de Reynolds (para certa forma geométrica). Naturalmente, poderíamos ter uma dependência do ângulo de ataque, mas admitimos agora que este ângulo é mantido constante e o número de Reynolds varia. O ângulo de ataque não é uma variável útil, porque o corpo não sendo aerodinâmico, não tem interesse. Um ângulo de ataque diferente é considerado como nova geometria. Então, a resistência na forma adimensional é

de forma que mantemos o conceito de coeficiente de resistência, mas dizemos que ele pode não ser uma constante para determinada geometria, mas depende de NR. No caso geral, podemos dizer, para qualquer aerofólio com separação na camada limite ou não que CD=f(NR, Θ).

Em um tubo, a queda de pressão depende do atrito na parede, que por sua vez depende de ser o escoamento laminar ou turbulento. Se laminar, o atrito na parede depende da viscosidade. Se turbulento, depende do número de Reynolds e da rugosidade da parede. Como poderíamos reproduzir em modelo tal queda de pressão?

O cálculo da queda de pressão, Δp, em um tubo de comprimento L, baseia-se na equação do movimento. Assim, a queda de pressão por unidade de comprimento do tubo (adimensional) deve depender do número de Reynolds e da rugosidade, que pode ser representada pela relação entre a altura média dos grãos superficiais e o diâmetro ε/D. Desta forma,

se definirmos o comprimento adimensional L * por L/D, onde D é o diâmetro do tubo e h é função de NR e da rugosidade do tubo. Em termos da pressão p,

Agora a perda de carga em metros é HL, e podemos escrever
eA função (NR, rugosidade) é escrita como f/2, onde f é o fator de atrito, um número adimensional que depende de Reynolds e da rugosidade no escoamento turbulento. Finalmente,

Dados experimentais para fatores de atrito são de importância vital nos problemas de escoamento em tubos.

Um aerofólio de área superficial de 1 sq ft (pé quadrado) é testado para a sustentação L em um túnel de vento. A um ângulo de ataque de 5° com o ar padrão de massa específica de 0,0024 slugs/cu ft (slugs por pé cúbico), a uma velocidade de 100 ft/s, a sustentação é medida em 7,0 lbf. Qual é o coeficiente de sustentação CL? Para uma asa de protótipo, de área igual a 100 sq ft, qual é a sustentação LP a uma velocidade de ar de 100 mph no mesmo ângulo de ataque?

CL pode ser calculado dos dados do modelo.

Então, para o protótipo, CL é o mesmo e a sustentação é
Discutir o ensaio em modelo de uma bomba ou ventilador para um fluido incompressível.

A forma é essencialmente a mesma para um fluxo axial ou centrífugo. Os parâmetros importantes que descrevem o desempenho de uma máquina são a potência P, a altura de carga H e a eficiência η. Para um certo projeto, o desempenho é caracterizado pelas seguintes variáveis: ρ, massa específica do fluido; ω, velocidade angular do rotor; D, diâmetro médio do rotor; μ, viscosidade do fluído; Q, vazão. P, gH e η não são independentes, mas sim funções das variáveis acima. É conveniente introduzir a altura de carga como gH e não H, pois o primeiro produto representa o trabalho de eixo por unidade de massa do fluido e independe de g. Assim, escrevemos

P= f1 (ρ, ω, D, Q, μ)
η= f2 (ρ, ω, D, Q, μ)
gH= f3 (ρ, ω, D, Q, μ)

Aplicamos o teorema de Buckingham a cada equação e obtemos um conjunto conveniente de π's

É importante observar que os grupos nos primeiros membros não são independentes. Dos dados experimentais sabe-se que a viscosidade e, conseqüentemente, ρωD²/μ não importa muito na determinação do desempenho de uma bomba ou ventilador. Desta forma, pode-se desprezá-la, resultando para uma determinada configuração de projeto,Os dados experimentais são usualmente apresentados na forma gráfica, com os adimensionais dos primeiros membros em função de Q/ωD³ de determinada máquina.

Fonte: HUGHES, Wiliam F.; BRIGHTON, John A. Dinâmica dos fluídos. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1974.